Para estar una semana y estar relajados yo no te recomendaría cruzar la isla, una cosa es el noroeste donde estaréis vosotros y otra es el sureste (que es lo que conozco más) y las dos tienen múltiples atractivos sin necesidad de que os entre fomo sólo por estar allí, aunque sitios como Siracusa, Ragusa, Noto o Marzamemi son muy top.
Trapani no lo conozco demasiado, sinceramente, aunque de ahí podéis ir perfectísimamente a cualquiera de las Egadi. Favignana es quizás la más mona y también la más accesible para un day trip, si hace buen tiempo creo que merece la pena.
Palermo es una ciudad fascinante, en mi opinión. Un must es el Palazzo dei Normani, la entrada no es muy cara y allí dentro está la Cappella Palatina que es espectacularísima, te deja boquiabierto. Tienes también un millón de iglesias barrocas, los mercados callejeros (Ballarò es muy guay), la Vucciria para tomar el aperitivo antes de cenar... En cualquier sitio comes de puta madre, y obvio no te puedes ir sin probar los cannoli.
A medio camino entre Trapani y Palermo tienes dos sitios que te recomiendo muy encarecidamente visitar, que son Segesta, un conjunto arqueológico griego espectacular, y Tonnara di Scopello, un mini pueblecito de costa muy pintoresco donde hacen una especie de foccaccia que se llama pane cunzato que es una maravilla.
